모순과 함께 성장한 논리학과 철학
유니콘이 존재하려면 모순이 참이어야 해
모순의 부재, 현대 논리학의 우수성 방증

[해외DS]는 해외 유수의 데이터 사이언스 전문지들에서 전하는 업계 전문가들의 의견을 담았습니다. 저희 데이터 사이언스 경영 연구소 (GIAI R&D Korea)에서 영어 원문 공개 조건으로 콘텐츠 제휴가 진행 중입니다.

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유니콘은 판타지 소설과 동화 속에서는 자유롭게 돌아다니지만, 차갑고 분석적인 수학과 철학의 세계에서는 존재하지 않는다. 하지만 탄탄하게 쌓인 논리학에서 단 하나의 모순이 성립되더라도 유니콘은 존재하게 된다. 유니콘의 존재 여부를 본격적으로 파헤쳐 보기 전에 2,300여 년 전 아리스토텔레스가 제시한 세 가지 사고의 법칙을 먼저 살펴봐야 한다. 아리스토텔레스는 수많은 인상적인 공헌을 남겼는데, 그중에서도 논리학 이론 발전에 지대한 영향을 끼쳤다. 그가 정립한 사고의 법칙은 동일성, 비모순, 배제된 중간이다. 유니콘 사냥꾼에게 중요한 법칙은 모순을 금지하는 요소이며, 이 법칙에 따르면 명제는 참이면서 동시에 거짓일 수 없다. 정사각형 원과 결혼한 총각은 문명화된 논리에서 환영 받지 못하는 존재이다.

모순과 논리가 함께할 수 없는 이유

모순은 모든 역설을 뒷받침한다. 악명 높은 거짓말쟁이 역설인 '이 문장은 거짓이다'를 생각해 보자. 이 문장이 참이라면 우리는 해당 문장을 액면 그대로 받아들여야 해서 거짓이 되고, 만약 거짓이라면 문장이 거짓이 아니라 참인 것으로 판명 난다. 아리스토텔레스의 비모순 법칙 앞에서 이 모순은 설 자리가 없다. 거짓말쟁이 역설과 수백 가지의 다른 알려진 역설이 미해결 상태로 남아 있는 이유다. 이 모순을 해결하기 위해 수많은 철학 논문이 거짓말쟁이의 역설에 관해 연구해 왔으며, 모순은 부정적인 피드백을 통해 수학과 철학 발전의 원동력으로 작용해 왔다. 미로의 막다른 골목처럼 모순은 "이 길은 앞으로 나아갈 길이 아니다"라는 신호를 보내며 발걸음을 되돌려 다른 길을 연구하도록 안내했다.

모순은 왜 그렇게 용납할 수 없는 것일까? 비모순의 법칙을 꼭 받아들여야 할까? 어쩌면 모순은 블랙홀과 비슷할지도 모른다. 모순은 익숙한 규칙을 위반하는 이상하고 직관적이지 않은 경계 대상이지만, 현실을 설명할 때 모순을 위한 공간을 확보해야 설명이 되는 것처럼 말이다. 하지만 모순을 논리에 끌어들이는 것은 폭발의 원리(Principle of Explosion)로 알려진 중대한 문제를 일으킨다. 모순을 하나라도 인정하면 그것이 사실이든 아니든 무엇이든 증명할 수 있게 되는 공허한 논리 체계만 남기 때문이다.

모순이 참이면 모든 것이 참이다

모순에서 어떤 것을 증명하는 논증은 놀라울 정도로 간단하다. 연습을 위해 다음 문장이 참이라는 것을 알고 있다고 가정한다.

선언 명제: 오마르는 결혼했거나 마리아는 키가 5피트이다.

위의 내용이 참이어도 오마르가 기혼자라는 의미도 아니고 마리아의 키가 5피트라는 의미도 아니다. 둘 중 적어도 하나는 사실이어야 한다는 것을 암시할 뿐이다. 여기서 다음 명제를 추가해 보자.

명제: 오마르는 결혼하지 않았다.

이 두 가지 명제로부터 마리아의 키는 5피트여야 한다는 결론을 내릴 수 있다. 만약 마리아가 키가 작고 오마르도 결혼하지 않았다면, 우리의 선언명제가 거짓일 수밖에 없기 때문이다. 이 예를 염두에 두고 모순을 참이라고 가정한 다음 결론을 도출해 보자. 철학자들은 모순의 간결한 예로 결혼한 총각을 좋아하므로, 그 전통을 존중하기 위해 다음과 같이 가정했다:

명제 1: 오마르는 결혼했다.

명제 2: 오마르는 결혼하지 않았다.

서로 모순되는 두 명제를 만들었고, 둘 다 참이라고 가정한다.

선언 명제: 오마르는 결혼했거나 유니콘이 존재한다.

선언 명제의 전건(오마르가 결혼했다)이 참이므로 후건의 내용과 상관없이 이 명제는 참이다. 'OR' 연산자가 포함된 명제이므로 양쪽에 있는 주장 중 하나가 참이어도 전체 문장이 참이 되기 때문이다. 그러나 오마르가 결혼하지 않았다는 사실도 가정했음을 기억하면 다음과 같은 결론에 도달한다.

결론: 유니콘은 존재한다.

오마르가 결혼하지 않았다는 사실을 추가하면 선언 명제의 전건이 거짓이므로 후건이 참일 수밖에 없다. 결국 우리는 유니콘이 존재한다는 사실을 인정해야 한다. 모순이 참이면 모든 것이 참이기 때문이다.

아직까지 폭발하지 않은 논리학

일부 논리학자들은 폭발의 원리가 혼란스럽다고 생각하여 위에서 살펴본 논증을 무효로 하기 위해 초일관 논리를 고안해 냈다. 이 논리의 지지자들은 유니콘은 오마르의 결혼 여부와 아무런 관련이 없으므로, 유니콘으로부터 다른 유니콘에 대해 아무것도 알 수 없어야 한다고 주장했다. 하지만 초일관 논리를 지지하는 사람들은 마리아의 키가 5피트라는 결론을 내릴 때 사용한 논리와같이 명백해 보이는 주장을 잘못된 것으로 간주해야 하는 문제를 직면해야 한다. 대부분 철학자가 이러한 시도를 거부하는 이유다.

일부 초일관 논리를 옹호하는 사람들은 모순이 실제로는 참이라고 주장하는 훨씬 더 급진적인 입장을 취한다. 양진주의자들은 비모순의 법칙을 거부하고 합리성의 모든 구석에서 모순을 추방하기보다는 모순을 때때로 참과 거짓이 동시에 존재하는 특이한 유형의 진술로 받아들여야 한다고 주장한다. 그들의 견해에 따르면 거짓말쟁이 역설과 같이 머리를 쥐어뜯는 모순은 저절로 해결된다고 자랑한다. 그들은 더 이상 논쟁할 필요 없이 "이 문장은 거짓이다"라고 말하기만 하면 참과 거짓이 동시에 성립한다고 주장한다. 변증법은 상대적으로 지지자가 적지만, 영국 철학자 그레이엄 프리스트의 광범위한 연구 덕분에 존경할 만한 철학적 입장으로 인정받고 있다.

논리학은 수학의 기초이기도 하므로 모순이 발생하면 수학도 마찬가지로 폭발의 원리에 취약할 수 있다. 다양한 시대와 언어에 걸쳐 수학자들은 수표책의 균형을 맞추는 데 사용하는 것부터 비행기가 날고 원자로가 작동하는 계산에 이르기까지 모든 것을 지배하는 복잡하게 얽힌 논증으로 우뚝 솟은 건물을 세워왔다. 논리와 수학의 수많은 복잡한 논증 중에서 적어도 우리가 알고 있는 한, 단 하나의 모순도 빠져나가지 않고 붕괴를 피했다는 사실이 놀라울 뿐이다.

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A Married Bachelor Proves That Unicorns Exist

The “principle of explosion” explains why a single contradiction would destroy math

Unicorns roam free in fantasy novels and children’s stories, not so much in the real world, much less the cold, analytical ones of math and philosophy. But it turns out that these logical disciplines are only one misstep away from proving the existence of the long-adored mythic creatures—or proving any absurdity.

To understand how unicorns could migrate into our most objective fields of study, we must first look to tenets laid down by Aristotle more than 2,300 years ago. Among his many impressive contributions, he is often credited with articulating the “three laws of thought”—self-evident statements that we must assume for any theory of logic to take flight. The one that matters for unicorn hunters is the law forbidding contradiction. That law says propositions cannot be both true and false. You can’t have A and not A. Square circles and married bachelors are simply unwelcome in a civilized logic.

Contradictions keep math and philosophy on course through negative feedback. Like dead ends in a maze, they signal “this is not the way forward” and demand that you retrace your steps and choose a different path. Contradictions also underpin all paradoxes. Consider the infamous liar paradox: “This sentence is false.” If it’s true, then we should take it at face value: the sentence is false. If it’s false then it is not the case that the sentence is false, i.e., it’s true. So if the statement is true, then we deduce that the statement is false and vice versa, a contradiction. Because of Aristotle’s law, the contradiction cannot stand, so the liar paradox and hundreds of other known paradoxes beg for resolutions. Reams of philosophical papers have been devoted to the impressively resilient liar paradox, all in an effort to purge the world of one contradiction.

But why are contradictions so unacceptable? Need we accept the law of noncontradiction? Maybe contradictions are akin to black holes. They’re weird, counterintuitive boundary objects that violate some accustomed rules, but we must make room for them in our description of reality. What would happen if we threw up our hands and accepted the liar paradox as a genuine contradiction? Aside from them being aesthetically unpalatable, inviting a contradiction into logic poses a major problem known as the principle of explosion. Once we admit even a single contradiction, we can prove anything, whether it’s true or not.

The argument that proves anything from a contradiction is remarkably straightforward. As a warm-up, suppose you know that the following statement is true.

True statement: Omar is married or Maria is five feet tall.

You know the above to be true. It doesn’t necessarily imply that Omar is married, nor does it imply that Maria is five feet tall. It only implies that at least one of those must be the case. Then you import an additional piece of knowledge.

True statement: Omar is not married.

What can you conclude from this pair of assertions? We conclude that Maria must be five feet tall. Because if she isn’t and Omar isn’t married either, then our original or-statement couldn’t have been true after all. With this example in mind, let’s assume a contradiction to be true and then derive something ridiculous from it. Philosophers love a married bachelor as a succinct example of a contradiction; so to honor that tradition, let’s assume the following:

True statement: Omar is married.

True statement: Omar is not married.

Using these as true statements, we’ll now prove that unicorns exist.

True statement: Omar is married or unicorns exist.

This is true because we know from our assumption that Omar is married and an or-statement as a whole is true whenever one of the claims on either side of the “or” is true.

True statement: Omar is not married.

Remember, we assumed this to be true.

Conclusion: Unicorns exist.

Just like we concluded that Maria must be five feet tall, once we accept that either Omar is married or unicorns exist and then add in that Omar is not married, we’re forced to admit the absurd. The simplicity of this argument can make it seem like sleight of hand, but the principle of explosion is fully sound and a key reason why contradictions cause intolerable destruction. If a single contradiction is true, then everything is true.

Some logicians find the principle of explosion so disturbing that they propose altering the rules of logic into a so-called paraconsistent logic, specifically designed to invalidate the arguments we’ve seen above. Proponents of this project argue that since unicorns have nothing to do with Omar’s marital status, we should not be able to learn anything about one from the other. Still, those in favor of paraconsistent logic have to bite some hearty bullets by rejecting seemingly obvious arguments as invalid, like the argument we used to conclude that Maria is five feet tall. Most philosophers decline to make that move.

Some advocates of paraconsistent logic take an even more radical stance called dialetheism, which asserts that some contradictions are actually true. Dialetheists reject the law of noncontradiction and claim that rather than expelling contradictions from every corner of rationality, we should embrace them as peculiar types of statements that are occasionally true and false simultaneously. Dialetheists boast that under their view, head-banging conundra like the liar paradox resolve themselves. They simply say that “this sentence is false” is both true and false, with no need for further debate. Although dialetheism has relatively few adherents, it has gained recognition as a respectable philosophical position, largely thanks to the extensive work of British philosopher Graham Priest.

Logic is also the foundation of mathematics, meaning that math is just as vulnerable to catastrophe if a contradiction arises. Spanning different eras and languages, mathematicians have erected a towering edifice of intricately tangled arguments that govern everything from the stuff you use to balance your checkbook to the calculations that make planes fly and nuclear reactors cook.

The principle of explosion ensures that unless we want to rewrite logic itself, a single contradiction would bring the whole field tumbling to the ground. It is remarkable to consider that among countless complicated arguments in logic and math, we’ve avoided collapse and not let one contradiction slip through the cracks—at least that we know of.