맥케이는 괴물군과 모듈 형식의 수열을 연결 
보처즈는 끈 이론을 통해 군론과 수론을 엮어
괴물의 크기로 실이 진동할 수 있는 모든 경우의 수를 표현해

[해외 DS] '가공할 헛소리'를 증명한 끈 이론 ①, 수학자의 뇌리에 박힌 숫자 '196,884'에서 이어집니다.

정수론은 대부분 정수에 관한 것으로 언뜻 보기에는 매우 단순해 보인다. 그러나 그 관계를 조사하기 위해 전문가들은 모듈러 형식(modular form)과 같은 복잡한 개념에 의존한다. 이는 극단적으로 대칭적인 함수 f(z)이며 사인(sine) 함수와 마찬가지로, 모듈러 형식의 특정 부분만 알면 다른 부분이 어떻게 전개되는지 알 수 있다.

"모듈러 형식은 삼각함수와 비슷하지만 그것의 극단적인 버전에 가깝다"고 수학자 켄 오노(Ken Ono)는 콴타 매거진에 말했다.

모듈러 형식은 수학에서 중요한 역할을 하고 있다. 예를 들어 옥스퍼드대학교의 앤드류 와일즈(Andrew Wiles)는 페르마의 정리를 증명하는 데, 스위스 로잔 연방공과대학의 마리나 비아조브스카(Maryna Viazovska)는 8차원 공간에서 가장 밀도가 높은 구의 배열을 찾는 데 모듈러 형식을 사용했다. 그러나 모듈러 형식은 매우 복잡하기 때문에 다음과 같은 무한히 긴 다항식으로 근사화되는 경우가 많다.

f(q) = (1⁄q) + 744 + 19,688q + 21,493,760q2 + 864,299,970q3 + …

변수 q 앞에 있는 계수들은 수 이론적 관점에서 볼 때 흥미로운 특성을 가진 수열을 형성한다. 맥케이는 바로 이 수열을 괴물과 연결했다.

괴물군, 모듈러 형식, 끈 이론의 연결성

보처즈는 1980년대에 문샤인 가설(moonshine conjecture)에 대해 처음 들었다. 그는 유튜버 커트 자이문갈(Curt Jaimungal)과의 인터뷰에서 "나는 깜짝 놀랐었다"고 회상했다. 당시 보처즈는 콘웨이의 강의를 들으며 수론과 군론이 신비롭게 연결될 수 있다는 것을 처음 알게 되고, 이 주제가 그의 머릿속을 떠나지 않았다. 그는 연관성이 의심되는 부분을 찾기 시작했고, 1992년 획기적인 결과를 발표해 6년 후 수학계 최고의 상 중 하나인 필즈 메달을 수상하게 된다. 그의 결론은 물리학의 극히 추측적인 분야인 끈 이론으로 군론과 수론 사이를 봉합할 수 있다는 것이었다.

끈 이론은 물리학의 네 가지 기본 힘(전자기학, 강 핵력, 약 핵력, 중력)을 통합하려는 이론이다. 기존 이론에서처럼 입자나 파동에 의존하여 우주의 기본 구성 요소를 나타내는 대신, 끈 이론은 1차원의 작은 실이 악기의 현처럼 진동하여 입자와 상호 작용을 한다고 해석한다.

보처즈는 끈 이론이 대칭성과 관련된 많은 수학적 원리를 기반으로 한다는 것을 알고 있었다. 알고 보니 모듈라이도 중요한 역할을 했다. 작은 실이 닫혀서 흔들리는 방식으로 시공간을 이동할 때, 그 궤적은 2차원 튜브를 형성한다. 이 구조는 실이 진동하는 방식과 관계없이 모듈러 모양과 동일한 대칭성을 갖는다.

진동 에너지와 괴물의 대칭성

보처즈가 연구한 끈 이론의 유형은 25개의 차원에서만 수학적으로 공식화할 수 있다. 그러나 우리의 세계는 눈에 보이는 삼차원으로만 구성되어 있으므로 이론가들은 나머지 22개 차원을 작은 구 또는 도넛 모양으로 말아 올린다고 가정한다. 하지만 물리학에서는 모양에 따라 그 계산이 달라진다. 차원이 원통으로 말려 있는 끈 이론은 구를 형성하는 이론과 다른 예측 결과를 낳는다. 따라서 입자와 입자의 상호작용을 우리 세계에 맞는 방식으로 설명하기 위해 물리학자들은 이 계산에서 올바른 '압축' 방식을 찾아내야 한다.

보처즈는 24차원을 24차원 도넛 표면으로 말아서 관련 끈 이론이 괴물과 대칭을 이룬다는 사실을 발견했다. 자유 공간 차원이 하나만 남았다는 사실은 그를 괴롭히지 않았다. 결국 그는 우리 세계를 설명하는 물리 이론이 아니라 모델의 수학적 속성에 관심이 있었기 때문이다.

이 구성된 세계에서 실은 24차원 도넛을 따라 흔들린다. 괴물의 크기는 실이 특정 에너지에서 진동할 수 있는 모든 방법을 계산한다. 따라서 가장 낮은 에너지에서는 한 가지 방식으로만 진동하고, 그다음으로 높은 에너지에서는 196,883개의 다른 가능성이 생긴다. 그리고 실이 남기는 흔적은 모듈러 형식의 대칭성을 갖게 된다.

보처즈는 괴물 그룹과 모듈러 형식 사이의 연관성을 입증했다. 그동안 수학자들은 다른 유한 군과 다른 모듈러 형식을 연결할 수 있었고, 끈 이론도 그 연결 고리를 제공했다. 따라서 추측 이론이 우리 우주를 설명하는 데 적합하지 않다는 것이 밝혀지더라도 완전히 새로운 수학적 세계를 발견하는 데 도움이 될 수 있다.

영어 원문 기사는 사이언티픽 아메리칸에 게재되었습니다.