[ํด์ธ DS] ์๋์ํธ์ ์ํ์ ๋ง๋จ, ์ผ์์ ์ธ ์์ ์ ์์ํ ์ด์ผ๊ธฐ (2)
์ ๋ ฅ
์์
์ด๋ณด์๋ถํฐ ์ ๋ฌธ๊ฐ๊น์ง ๋ชจ๋๊ฐ ์ผ๋ จ์ ๊ท์น์ ๋ฐ๋ฅด์ง๋ง, ๋ฌธ์๋ก ๊ธฐ๋กํ์ง ์์ ๊ท์น์ ์ ์ ยท๊ฐ์ ยท์ฐจ์ยท์์ง์์ ๋ํ ์ ํ ๋ฑ์ ํฌํจ, '์ค์ผ๋ฌ ๊ทธ๋ํ' ์ ๋ฆฌ์ ๋์ ์ ์ฒด ๊ทธ๋ฆผ์ ๊ตฌ์ฑํ๋ ๊ฐ ํ์ ๋จ๊ณ๋ ์์์ ๊ณผ ๋์ ์ด ๋์ผํด, ์ค๋ฌํ ์ฌ๊ท์ ์ฑ์ง

๋ชจ๋ ๊ทธ๋ฆผ์๋ ๋ค์ํ ์ ๋ฌธ ์ง์๊ณผ ์์ค์ด ์กด์ฌํ๋ค. ์ด๋ค ์ด๋ค์ ๋ชจ๋ ๊ทธ๋ฆผ์ ์ ํ ์ฐ์ตํ์ง ์๊ฑฐ๋, ๋ช ๊ฐ์ ๊ฐ๋จํ ๊ทธ๋ฆผ๋ง ๊ทธ๋ฆด ์ค ์๋ ์ฌ๋์ด ์๋ ๋ฐ๋ฉด, ๋ฐ๋์ํฌ ์ฌํ์์ ์ง์ ํ '์ ๋ฌธ๊ฐ'๋ค์ ํ๋ถํ ๋ ํผํ ๋ฆฌ๋ฅผ ๊ฐ์ง๋ค๊ณ ์๋ ค์ ธ ์๋ค(์ผ๋ถ์ ๋ฐ๋ฅด๋ฉด ์ต๋ 400๊ฐ์ ๊ทธ๋ฆผ์ ๊ทธ๋ฆด ์ ์๋ค๊ณ ํ๋ค). ์ด๊ธฐ์ ๋ชจ๋ ๊ทธ๋ฆผ์ ๋จ์ฑ์ ์ ์ ๋ฌผ์ด๋ผ๊ณ ์ฌ๊ฒจ์ก์ง๋ง, ์ค๋๋ ์๋ ๊ทธ๋ ์ง ์๋ค. ๋ช๋ช ์ฌ์ฑ๋ค๋ ๋ฐ์ด๋ ์ ๋ฌธ์ฑ์ ๋ณด์ ํ๊ณ ์๋ค.
๋ํ ์ด๋ณด์๋ถํฐ ์ ๋ฌธ๊ฐ๊น์ง ๋ชจ๋๊ฐ ์ผ๋ จ์ ๊ท์น์ ๋ฐ๋ฅด๋๋ฐ, ๋ฌธ์๋ก ๊ธฐ๋ก๋ ๊ฒ์ ์๋ค. ์ ํต์ ์ธ ์ง์์ด ๊ตฌ์ ์ผ๋ก ์ ํด์ง๋ฉฐ ๋๋ถ๋ถ์ ์ผ๊ด์ฑ ์๋ ์์น์ ๋ฐ๋ฅธ๋ค. ๋ชจ๋ ๋๋ฉด์ ์ผ๋ จ์ ๋ ธ๋ ๋๋ ๊ต์ฐจ์ , ์ ์ ์ ์ํ๋ ๊ทธ๋ฆฌ๋๋ก ์์๋๋ค. ๊ท์น์ ์์ง์์ ์ ํํ๊ธฐ๋ ํ๋ค. ์ํฐ์คํธ๋ (1) ๋ ธ๋์์ ๋ ธ๋๋ก ์ด๋ํ ๋ ๊ฐ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ๊ฐ๋ก์ง๋ฅด๊ฑฐ๋ ๋ ธ๋ ์ด์ธ์ ๊ทธ๋ฆฌ๋๋ฅผ ์๋ฅด์ง ์๊ณ (2) ์๊ฐ๋ฝ์ ๋ผ์ง ์๊ณ ์์ ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์์ผ ํ๋ค๋ ๊ฒ์ด๋ค. ํ์ฅ์์ ๋ฐ๊ฒฌํ ๋ ๋ค๋ฅธ ๊ท์น์ด ์์๋๋ฐ, ์ด ๊ท์น์ ์ค๋ฐ์ ๋ชจ๋ธ์์ ๋งค์ฐ ์ค์ํ ์ญํ ์ ํ๋ค๊ณ ๋ฐํ์ก๋ค. ์ด์ ๋ํ ์ค๋ช ์ ์๋์์ ์ฐพ์๋ณผ ์ ์๋ค.
๋ฏผ์กฑ์ํ ์ ๊ตฌ์๋ค์ ํ์, ๋ฌธ์ ์๋ ์ฌํ์ ์ํ์ ์ง์ ๋ฐ๊ฒฌ
์๋ ์ํธ์ ๊ท์น์ด ์ํ์ ๊ฐ๋ ๊ณผ ์ ์ฌํ๋ค๋ ๊ฒ์ ์์์ฐจ๋ฆฐ ์ฌ๋์ ์ค๋ฐ๊ฐ ์ฒ์์ด ์๋๋ค. ๊ทธ์ ๋ ผ๋ฌธ์ ๋ฏผ์กฑ์ํ์ ์ ๊ตฌ์์ธ ๋ฏธ๊ตญ ์ํ์ ๋ง๋ฅด์์ ์ ์ (Marcia Ascher)๊ฐ 1980๋ ๋์ ์ํํ ์ฐ๊ตฌ์ ์ฐ์ฅ์ ์์ ์๋ค. ๊ทธ๋ ๋ ์๋ ์ํธ์์ ์ํ์๋ค์ด ๊ทธ๋ํ ์ด๋ก ์ด๋ผ๊ณ ๋ถ๋ฅด๋ ๊ฒ, ํนํ ์ค์ผ๋ฌ ๊ทธ๋ํ์ ๋ถ๋ช ํ ์ฐ๊ด์ฑ์ด ์๋ค๊ณ ์ฃผ์ฅํ๋ค.
์ ์ ์ ๊ด์ ์ด ์ผ๋ง๋ ํ๋ช ์ ์ด์๋์ง ์ดํดํ๋ ค๋ฉด ์๋์ ๋งฅ๋ฝ์ ์์์ผ ํ๋ค. ์ ์ ์ ๋์๋ ํ์๋ค์ ์ฐ๊ตฌ ์ด์ ์๋ ์ผ๋ฐ์ ์ผ๋ก ๋ฌธ์๊ฐ ์๋ ์ฌํ์์๋ง ์ํ์ ์ง์ ์ผ๋ก ์ค์ฒํ ์ ์๋ค๊ณ ์๊ฐํ์๋ค. ๊ทธ๋ค์ ์ํ์ ์ง์์ ๊ดํ ์ฐ๊ตฌ๋ฅผ ํ ์คํธ ์๋ฃ์ ๊ตญํํ๊ณ , ๋ฌธ์๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ง ์๋ ๊ตฌ์ ์ ํต์ ๊ฐ์ง ์ฌํ์์ ๋ณผ ์ ์๋ ๋ค๋ฅธ ๋ง์ ์ํ์ ๊ดํ์ ํฐ ๊ด์ฌ์ ๋์ง ์์๋ค.
๊ทธ๋ฌ๋ ๋ฏผ์กฑ์ํ ์ฐ๊ตฌ๊ฐ ์์๋ ํ, ์ผ๋ถ ํ์๋ค์ ์ด๋ฌํ ์ ํต์ ์ธ ๊ฐ์ ์ ๊นจ๋จ๋ ธ๋ค. ์ด๋ฌํ ๋ณํ๋ 1940๋ ๋์ ์๋๋ ์จ์ผ(Andrรฉ Weil)์ด ํด๋ก๋ ๋ ๋น์คํธ๋ผ์ฐ์ค(Claude Lรฉvi-Strauss)์ ํธ์ฃผ ์๋ฆ๊ตฌ์กฑ์ ์น์กฑ๊ด๊ณ ๊ท์น์ ์ํ์ ๋ฒ์น์ผ๋ก ์ ์ฆํ ๊ฒ์์ ์ถ๋ฐ๋์๋ค. ๊ทธ ํ, ์ฐ๊ตฌ์๋ค์ ๋ง๋ค๊ฐ์ค์นด๋ฅด์ ํ์ข ๊ฒ์๊ณผ ์ ์ , ํํธ์๋ด๊ธฐ๋์ ์ค ๋์ด, ์๋ฐ์ค์ ์ง๋ฌผ, ๋ ์๋์น ์ฌ์ ์ฅ์์ฉ ์ฐฝ๋ฌธ ๊ฑธ์ด ๋ฑ์์ ์ํ์ ์๋ฆฌ๋ฅผ ๋ฐ๊ฒฌํ๋ค.
์ ์ ์ ๋ฐ๊ฒฌ์ ํ ๋๋ก ์ค๋ฐ๊ฐ ์์ ์ฌ๋ฆฐ ์๋ ์ํธ์ ์ถ์์ ๊ฐ๋
์ ์ ์ ๋ชจ๋๊ทธ๋ฆผ ์์ ์ 1926๋ ๊ณผ 1927๋ ์ ๋ฐ๋์ํฌ์ ๋ง๋ ์ฟจ๋ผ์ ์๋ธ๋ฆผ ์ฌ์์ 100์ฌ ์ ์ ๋ชจ๋๊ทธ๋ฆผ์ ์์งํ๊ณ ํ์ฌํ ์ ์ ๋ฏผ์กฑํ์ ๋ฒ๋๋ ๋์ฝ(Bernard Deacon)์ ์์ ์์ ์๊ฐ์ ์ป์๋ค. ์ ์ ๋ ์ด ๊ทธ๋ฆผ๋ค์ ์ฐ๊ตฌํ ๋์ ์ด๋ฌํ ์ด๋ฏธ์ง๊ฐ ์ํ์ ์ผ๋ก ์ค๋ช ๋ ์ ์๋ค๋ ์ฌ์ค์ ๊นจ๋ฌ์๋ค. ๊ฐ ๋ชจ๋๊ทธ๋ฆผ์ ๋ณ(edge)์ผ๋ก ์ฐ๊ฒฐ๋ ๊ผญ์ง์ (vertex)์ ํฌํจํ๋ค๋ ์๋ฏธ์์ '๊ทธ๋ํ'๋ก ์๊ฐํ ์ ์๋ค. ๊ทธ๋ํ์ ๋ํ ์ด๋ฌํ ์ ์๋ ์ํ์์ ํน์ํ ๊ฐ๋ ์ด๋ค.

์ ์ ๋ ๋ชจ๋ ๊ทธ๋ฆผ์ด ๋ชจ๋ ๋ ๊ผญ์ง์ ์ฌ์ด์ ๊ฒฝ๋ก๊ฐ ์กด์ฌํ๋ ์ฐ๊ฒฐ ๊ทธ๋ํ(connected graph)์ ๋น์ทํ๋ค๋ ๊ฒ์ ๋ฐ๊ฒฌํ๋ค. ์ด ๊ทธ๋ํ ์ญ์ ์ค์ผ๋ฌ ๊ทธ๋ํ๋ก, ์๋ ์ํฐ์คํธ๋ ๊ฐ ๋ณ์ ํ ๋ฒ๋ง ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์์์ ์ผ๋ก ๋์์์ผ ํ๋ค. ์ํ์ ์นผ ํ์ดํ์ (Carl Hierholzer)๊ฐ ๋ง๋ ์ค์ผ๋ฌ ์ ๋ฆฌ์ ๋ฐ๋ฅด๋ฉด, ๊ฐ ๊ผญ์ง์ ์ ์ฐจ์(degree)๊ฐ ์ง์์ผ ๋๋ง ์ฐ๊ฒฐ๋ ๊ทธ๋ํ๊ฐ ์ค์ผ๋ฌ ๊ทธ๋ํ์ด๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ์ ์ ๋ ์ฐจ์์ ๋ํ ๋ด์ฉ๋ ๋ฌธ์ํํ๋ค.
ํ์ง๋ง ์ ์ ๋ ๋ฐ๋์ํฌ์ ๊ฐ์ ๋์์ด๋๋ค์ด ์ผํ๋ ๋ชจ์ต์ ๋ณผ ๊ธฐํ๊ฐ ์์๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ์ฐ๊ตฌ์ ํ๊ณ๊ฐ ์์ ์๋ฐ์ ์์๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ํ์ฅ ์กฐ์ฌ๋ฅผ ์งํํ ์ค๋ฐ์ ์ฐ๊ตฌ๋ ํ ๋ฐ ๋ ๋์๊ฐ ์ ์์๋ค. ์ ์ ๋ ๋์ฝ์ ๊ทธ๋ฆผ์ ๊ฒํ ํ๋ฉด์ ๊ทธ๋ํ ์ค ์ผ๋ถ๋ฅผ ์๋ ๊ฐ์ ํ์ ๋จ๊ณ๋ก ๋๋ ์ ์๊ณ , ํ์ ๋จ๊ณ๋ค์ด ์๋ก ์ฐ๊ฒฐ๋์ด ์ต์ข ๊ทธ๋ฆผ์ ํ์ฑํ๋ค๋ ๊ฒ์ ๊ด์ฐฐํ๋ค. ๋ค์ ๋งํด, ๊ฐ ๋จ๊ณ๋ง๋ค ์์์ ์ผ๋ก ๋์๊ฐ๋ ํ์ ๊ทธ๋ฆผ์ด ๋ง๋ค์ด์ง๋ ๊ฒ์ด์๋ค. ์ค๋ฐ๋ ํ์ ๋จ๊ณ๋ฅผ ์๋ณํ๋ ๊ณผ์ ์ '๋ถํด'๋ผ๊ณ ๋ช ๋ช ํ๊ณ , ๋ชจ๋ ๋๋ก์์์ ์ด๋ฌํ ์ ํ์ ๋ถํด๊ฐ ๊ฐ๋ฅํ์ง, ๊ฐ ํ์ ๋จ๊ณ๋ค์ ์ด๋ป๊ฒ ์๋ก ๋ง๋ฌผ๋ ค ์์ผ๋ฉฐ ์์๊ฐ ์ค์ํ์ง, ๋ฌด์๋ณด๋ค๋ ๋ถํด์ ๊ธฐ๋ณธ ๋จ์๊ฐ ์๋ ์ํฐ์คํธ์๊ฒ ๋ฌด์์ ์๋ฏธํ๋์ง ์๋ฌธ์ ๋์ก๋ค.
EXPERTS AND RULES
There are different levels of expertise and practice. Some people donโt practice sand drawing at all. Others know a few rather simple drawings. โExpertsโโdesignated as such by the rest of their societyโhave an impressive repertoire (up to 400 drawings, according to some). While the first ethnographies of sand drawing mentioned that this art was reserved for men, that is not the case today. Several women I met had a high level of expertise.
From beginners to experts, everyone follows a set of โrules.โ Because these communities have an oral tradition, there is no written record, but during my field survey, I drew up a list of principles that are followed in most cases. All drawings begin with a grid that provides support and defines a set of nodes, or crossing points, and lines.
Rules then indicate the movements that are allowed. More precisely, an artist must (1) go from node to node without crossing the same path or cutting the grid other than at its nodes and (2) must return to the starting point without lifting their finger.
There was an additional rule that I discovered in the field that turned out to be critical to my model, as discussed below.
MARCIA ASCHERโS INTUITION
I was not the first person to recognize the resemblance of these rules to concepts from mathematics. In fact, my thesis is a continuation of work carried out in the 1980s by American mathematician Marcia Ascher, a pioneer of ethnomathematics. In sand drawings, she argued, there was a clear connection to what mathematicians call graph theory and especially to Eulerian graphs.
To appreciate how revolutionary Ascherโs perspective was, consider that before her work and that of her contemporaries, scholars generally assumed that only societies with writing could truly practice mathematics. They constrained their investigations of mathematical knowledge to textual sources and ignored many other practices seen in societies with oral traditions that did not use a written language.
But since the advent of ethnomathematics, some scholars have begun to overturn these assumptions. The shift undoubtedly began in the 1940s, when mathematician Andrรฉ Weil demonstrated, in a now famous appendix to anthropologist Claude Lรฉvi-Straussโs book The Elementary Structures of Kinship, that the kinship rules of the Australian Yolngu followed what are called non-trivia group laws. Since then researchers have identified mathematical principles in many other places, including sowing games and divination in Madagascar, string games on Papua New Guineaโs Trobriand Islands, textiles in the Andes and ornamental window hangings on the island of Rรฉunion.
Ascherโs work on sand drawing drew on that of a young ethnographer, Bernard Deacon, who had collected and transcribed more than 100 sand drawings from Malekula and Ambrym Islands in Vanuatu in 1926 and 1927. Ascher studied those figures and realized that these images could be described mathematically.
Each sand drawing could be thought of as a โgraphโ in the sense that it included vertices, or dots, connected by edges, or lines. (This definition of graph is a special one in mathematics. In graph theory, graphs are simple figures made up of vertices and edges to map out the connections of many nodes in a networkโsuch as cities linked by roads, computers linked by the Internet or even people linked by social ties.)
Ascher observed that in the sand drawings, the line traced in the sand was comparable to a graph whose vertices included all the crossings created in the pattern. The edges were all the arcs between those vertices. These graphs were also Eulerian, meaning that the sand artist had to visit each edge only once and had to return to a starting point. Ascher also documented the number of edges per vertex, which mathematicians call the โdegreeโ of the vertex. This was important because, according to Eulerโs theorem, created by mathematician Carl Hierholzer, a connected graph is Eulerian only if each vertex has an even degree.
The fact that Ascher never had the opportunity to go to Vanuatu to see the designers at work undoubtedly limited her research. My own research, therefore, could go further. One particular observation of Ascherโs propelled my study of how these images are created. By examining Deaconโs drawings, she had observed that some of these graphs could be broken down into three or four substeps that, when linked together, formed the final drawing. Put another way, each step produced a subdrawing that returned to the starting point. When these subdrawings were superimposed, the final drawing was revealed. I called this process of identifying subdrawings โdecomposition.โ
These subdrawings raised several questions for my work: Is this type of decomposition possible for every drawing? How did these layers fit together, and did the order matter? Above all, what did these layers represent for the sand artists?